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Une Organisation des Nombres Entiers Naturels
Ou une Vue Schématique des Nombres Premiers
Par Georges Peyrichou
(Un cours résumé se trouve à la fin)
- : - : -
Je ne répèterai pas ce qui a déjà été dit sur les nombres premiers. Ce qui suit n’a aucune prétention arithmétique car je ne maitrise pas le langage mathématique et encore moins son formalisme. La seule prétention est de montrer que les Nombres Premiers ne sont pas mystérieux mais très bien organisés selon un principe simple induisant un monde infini inatteignable mais compréhensible. Partager cette approche et rechercher une collaboration pour aller plus loin est aussi la motivation
- : - : -
Coloriage
Imaginons une plage sans fin composée de galets polis par le ressac au point de les rendre tous presque identiques
Ou une Vue Schématique des Nombres Premiers
Par Georges Peyrichou
(Un cours résumé se trouve à la fin)
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Je ne répèterai pas ce qui a déjà été dit sur les nombres premiers. Ce qui suit n’a aucune prétention arithmétique car je ne maitrise pas le langage mathématique et encore moins son formalisme. La seule prétention est de montrer que les Nombres Premiers ne sont pas mystérieux mais très bien organisés selon un principe simple induisant un monde infini inatteignable mais compréhensible. Partager cette approche et rechercher une collaboration pour aller plus loin est aussi la motivation
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Coloriage
Imaginons une plage sans fin composée de galets polis par le ressac au point de les rendre tous presque identiques
Figure 1
Le but du jeu consiste à tous les différencier en peignant chacun d’une couleur unique à partir des mélanges que l’on peut obtenir des trois couleurs cyan, jaune et magenta, le nombres des nuances de couleurs possibles étant infini.
On commence par aligner les galets.
Puis à l’aide de pinceaux magiques (Note 1) on applique plus ou moins de couches de couleurs différentes sur chaque galet selon la méthode suivante de façon à obtenir un mélange unique de couches de couleurs par galet. Voir la Figure 2.
Le but du jeu consiste à tous les différencier en peignant chacun d’une couleur unique à partir des mélanges que l’on peut obtenir des trois couleurs cyan, jaune et magenta, le nombres des nuances de couleurs possibles étant infini.
On commence par aligner les galets.
Puis à l’aide de pinceaux magiques (Note 1) on applique plus ou moins de couches de couleurs différentes sur chaque galet selon la méthode suivante de façon à obtenir un mélange unique de couches de couleurs par galet. Voir la Figure 2.
Figure 2
Le galet de gauche est vide. « Il n’existe pas » mais est nécessaire.
Le premier galet garde sa couleur naturelle.
Un premier pinceau applique une couche de cyan à un galet sur deux à partir du second galet.
Puis le second pinceau applique une couche de magenta à un galet sur trois.
Le troisième pinceau applique une couche de jaune à un galet sur quatre ce qui donne du vert.
Le quatrième pinceau applique une couche d’un mélange issu des trois premières couleurs.
Pour mieux visualiser le procédé, on décompose l’alignement des galets en couches parallèles de chaque application de peinture. Voir la figure 3.
Le galet de gauche est vide. « Il n’existe pas » mais est nécessaire.
Le premier galet garde sa couleur naturelle.
Un premier pinceau applique une couche de cyan à un galet sur deux à partir du second galet.
Puis le second pinceau applique une couche de magenta à un galet sur trois.
Le troisième pinceau applique une couche de jaune à un galet sur quatre ce qui donne du vert.
Le quatrième pinceau applique une couche d’un mélange issu des trois premières couleurs.
Pour mieux visualiser le procédé, on décompose l’alignement des galets en couches parallèles de chaque application de peinture. Voir la figure 3.
Figure 3
La figure 3 se lit ainsi :
Même principe que pour la figure 2 mais décomposé en couches. On revient aux 2 dimensions de la figure 1 :
La première rangée, horizontale, est le résultat des mélanges définitifs composés par les couleurs des colonnes correspondantes.
La diagonale continue est composée des nouveaux mélanges successifs obtenus sur la première rangée ainsi que des nouveaux mélanges nécessaires obtenus à partir des couleurs de la diagonale elle-même selon la règle de la (Note 2 et 3).
Les autres diagonales aux éléments espacés sont composées des couches de couleurs déjà utilisées, uniques et définitives, participant aux mélanges.
Le premier galet, de la diagonale et de la rangée horizontale garde sa couleur naturelle puis viennent les premières couches.
Chronologiquement on suit le mécanisme sur la figure 4.
La première rangée représente les galets à différencier par couleur. Elle débute par le non-galet.
Les rangées suivantes représentent les couches de couleurs successivement appliquées.
Dans l’ordre d’application des couches :
Le non-galet est le « zéro » galet 00.
Le galet 01 garde sa couleur neutre.
Le galet 02 prend la couleur cyan ainsi que provisoirement tous ceux correspondant à la deuxième rangée soit de 2 en 2.
Le galet 03 prend la couleur magenta ainsi que tous ceux correspondant à la troisième rangée soit de 3 en 3.
Le galet 04 a déjà la couleur provisoire de cyan.
La quatrième couche est jaune (005).
Le galet 05 reçoit cette seconde couche qui le rend définitivement vert (006).
On a désormais quatre couleurs à partir desquelles on peut obtenir un mélange pour la cinquième couche.
Pour tous les mélanges suivants, le choix est d’utiliser systématiquement la dernière couleur finale obtenue sur la première rangée pour colorer celle du bas de la colonne suivante. Sinon, lorsque la colonne est vide, un nouveau mélange est créé à partir des couleurs de la diagonale continue. Sinon on en crée un nouveau mélange à partir des couleurs de la diagonale continue. Comme on ne peut utiliser le vert qui serait seul dans la colonne à colorer le galet 05, on mélange le cyan au magenta (2 + 3) ce qui donne un bleu foncé colorant directement le galet 05.
Pour le sixième galet on peut utiliser le vert du galet 04 obtenu sur la première rangée horizontale qui n’a pas pu être utilisé pour le mélange du cinquième galet. Chaque fois que l’on ne peut pas faire de mélange dans une colonne on le fait à partir de la diagonale selon une règle choisie, etc. (Note 4)
La figure 3 se lit ainsi :
Même principe que pour la figure 2 mais décomposé en couches. On revient aux 2 dimensions de la figure 1 :
La première rangée, horizontale, est le résultat des mélanges définitifs composés par les couleurs des colonnes correspondantes.
La diagonale continue est composée des nouveaux mélanges successifs obtenus sur la première rangée ainsi que des nouveaux mélanges nécessaires obtenus à partir des couleurs de la diagonale elle-même selon la règle de la (Note 2 et 3).
Les autres diagonales aux éléments espacés sont composées des couches de couleurs déjà utilisées, uniques et définitives, participant aux mélanges.
Le premier galet, de la diagonale et de la rangée horizontale garde sa couleur naturelle puis viennent les premières couches.
Chronologiquement on suit le mécanisme sur la figure 4.
La première rangée représente les galets à différencier par couleur. Elle débute par le non-galet.
Les rangées suivantes représentent les couches de couleurs successivement appliquées.
Dans l’ordre d’application des couches :
Le non-galet est le « zéro » galet 00.
Le galet 01 garde sa couleur neutre.
Le galet 02 prend la couleur cyan ainsi que provisoirement tous ceux correspondant à la deuxième rangée soit de 2 en 2.
Le galet 03 prend la couleur magenta ainsi que tous ceux correspondant à la troisième rangée soit de 3 en 3.
Le galet 04 a déjà la couleur provisoire de cyan.
La quatrième couche est jaune (005).
Le galet 05 reçoit cette seconde couche qui le rend définitivement vert (006).
On a désormais quatre couleurs à partir desquelles on peut obtenir un mélange pour la cinquième couche.
Pour tous les mélanges suivants, le choix est d’utiliser systématiquement la dernière couleur finale obtenue sur la première rangée pour colorer celle du bas de la colonne suivante. Sinon, lorsque la colonne est vide, un nouveau mélange est créé à partir des couleurs de la diagonale continue. Sinon on en crée un nouveau mélange à partir des couleurs de la diagonale continue. Comme on ne peut utiliser le vert qui serait seul dans la colonne à colorer le galet 05, on mélange le cyan au magenta (2 + 3) ce qui donne un bleu foncé colorant directement le galet 05.
Pour le sixième galet on peut utiliser le vert du galet 04 obtenu sur la première rangée horizontale qui n’a pas pu être utilisé pour le mélange du cinquième galet. Chaque fois que l’on ne peut pas faire de mélange dans une colonne on le fait à partir de la diagonale selon une règle choisie, etc. (Note 4)
Figure 4
L’important à retenir est que quand on applique une nouvelle couche et que la colonne du galet correspondant n’a pas encore reçu de couche il faut un nouveau mélange à partir des couleurs déjà présentes sur la diagonale principale car deux galets auraient une même couleur. Cette diagonale comporte à la fois les mélanges définitifs reportées ainsi que les « créés ».
Par ce mécanisme on peut différencier l’infinité des galets par des nuances de couleurs et ce, quel que soit l’ordre de départ des trois premières couleurs (CMJ). L’efficacité de la méthode serait la même avec les couleurs rouge, verte et jaune, (RVB). Les trois premières couleurs pourraient aussi être des mélanges et l’ensemble infini de couleurs obtenues en serait différent mais en peinture on utilise les trois couleurs « primaires » cyan, magenta et jaune.
Selon le même mécanisme de ce coloriage utilisé pour différencier les galets nous pourrions utiliser trois lettres ou même trois signes que l’on accolerait selon une règle définie.
- : - : -
Les Entiers Naturels
Habituellement on place les entiers naturels sur la partie positive de la droite réelle. Ici, comme on ne s’intéresse qu’à eux, on remplace cette droite par une juxtaposition alignée de cases les symbolisant :
L’important à retenir est que quand on applique une nouvelle couche et que la colonne du galet correspondant n’a pas encore reçu de couche il faut un nouveau mélange à partir des couleurs déjà présentes sur la diagonale principale car deux galets auraient une même couleur. Cette diagonale comporte à la fois les mélanges définitifs reportées ainsi que les « créés ».
Par ce mécanisme on peut différencier l’infinité des galets par des nuances de couleurs et ce, quel que soit l’ordre de départ des trois premières couleurs (CMJ). L’efficacité de la méthode serait la même avec les couleurs rouge, verte et jaune, (RVB). Les trois premières couleurs pourraient aussi être des mélanges et l’ensemble infini de couleurs obtenues en serait différent mais en peinture on utilise les trois couleurs « primaires » cyan, magenta et jaune.
Selon le même mécanisme de ce coloriage utilisé pour différencier les galets nous pourrions utiliser trois lettres ou même trois signes que l’on accolerait selon une règle définie.
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Les Entiers Naturels
Habituellement on place les entiers naturels sur la partie positive de la droite réelle. Ici, comme on ne s’intéresse qu’à eux, on remplace cette droite par une juxtaposition alignée de cases les symbolisant :
Puis on reprend la décomposition en couches. Les cases sont soit vides, soit elles portent le nombre de cases vides plus 1 qui régulièrement les séparent.
Pour transposer le mécanisme aux entiers naturels, on remplace les couleurs par des nombres et on obtient le tableau schématique suivant :
Pour transposer le mécanisme aux entiers naturels, on remplace les couleurs par des nombres et on obtient le tableau schématique suivant :
Figure 5
Le mode de lecture est le suivant :
La première rangée donne le résultat des opérations addition-multiplication sur les rangées parallèles qui induisent les opérations multiplication-division des colonnes.
Dans chaque rangée on additionne les entiers jusqu’à la colonne désirée, par exemple : Dans la sixième rangée : 6 + 6 = 12.
12 résulte des multiplications entre les nombres par couples symétriques de la colonne choisie :
Colonne 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Soit :
1 x12 = 12
2 x 6 = 12
3 x 4 = 12
Si une colonne n’a qu’un nombre on prend son carré.
Si une colonne est vide on ajoute 1 au nombre précédent, ce dernier étant un nombre premier.
Autres exemples :
A - Dans la rangée 3 on additionne tous les 3 allant jusqu’à la colonne 297
soit 3 + 3 +…+ 3 = 297.
La colonne 297 comporte les nombres suivants : 3, 9,11, 27, 33, 99 donnant les multiplications :
1 x 297 = 297
3 x 99 = 297
9 x 33 = 297
11 x 27 = 297
B - Dans la rangée 17 on additionne tous les 17 jusqu’à la colonne 289.
Soit 17 + 17 + … + 17 = 289.
La colonne 289 ne comporte qu’un nombre, 17. On prend son carré soit 289.
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Des « Comètes »
Le mode de lecture est le suivant :
La première rangée donne le résultat des opérations addition-multiplication sur les rangées parallèles qui induisent les opérations multiplication-division des colonnes.
Dans chaque rangée on additionne les entiers jusqu’à la colonne désirée, par exemple : Dans la sixième rangée : 6 + 6 = 12.
12 résulte des multiplications entre les nombres par couples symétriques de la colonne choisie :
Colonne 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Soit :
1 x12 = 12
2 x 6 = 12
3 x 4 = 12
Si une colonne n’a qu’un nombre on prend son carré.
Si une colonne est vide on ajoute 1 au nombre précédent, ce dernier étant un nombre premier.
Autres exemples :
A - Dans la rangée 3 on additionne tous les 3 allant jusqu’à la colonne 297
soit 3 + 3 +…+ 3 = 297.
La colonne 297 comporte les nombres suivants : 3, 9,11, 27, 33, 99 donnant les multiplications :
1 x 297 = 297
3 x 99 = 297
9 x 33 = 297
11 x 27 = 297
B - Dans la rangée 17 on additionne tous les 17 jusqu’à la colonne 289.
Soit 17 + 17 + … + 17 = 289.
La colonne 289 ne comporte qu’un nombre, 17. On prend son carré soit 289.
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Des « Comètes »
Figure 6
La figure 6 diffère de la 5 montrant en rangées les multiples et en diagonale continue leurs diviseurs.
La première rangée correspond à la suite des entiers naturels et l’ensemble des suivantes en est la décomposition.
La seconde rangée correspond aux multiples de 2.
La troisième rangée correspond aux multiples de 3.
Etc.
La décomposition permet de visualiser des formes de comètes (colorées) partant de chaque carré du nombre correspondant de la diagonale principale.
Une seconde série de comètes a pour « tête » un produit de deux entiers consécutifs s’insérant entre les carrés consécutifs tels 20 ; 18 ; 14 ; 8.
Les comètes à tête de carré sont suffisantes à la compréhension du mécanisme bien qu’il existe une infinité de catégories de comètes qui s’interpénètrent. Voir l’extrait de la « carte des multiples-diviseurs » (Figure 10).
Les multiples-diviseurs des comètes forment une suite de la forme :
n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1)
4 ; 2.
9 ; 8 ; 5.
16 ; 15 ; 12 ; 7.
25 ; 24 ; 21 ; 16 ; 9.
Etc.
Lorsqu’une colonne est vide de multiple-diviseur, elle correspond à un nombre premier. En calquant la chronologie de composition des mélanges de couleurs sur le tableau à nombres on observe alors la genèse des nombres premiers qui n’est en fait qu’induite par l’organisation des entiers naturels, sorte de « négatif ». Vu ainsi, les nombres premiers sembleraient n’être qu’une conséquence de l’organisation des entiers naturels.
- : - : -
Un crible : Le Triangle Premier
Ou crible par comparaison. (Note 5 et 6)
À partir de la suite : n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1), on peut construire un crible dévoilant les nombres premiers en comparant les entiers impairs composant la diagonale externe avec les entiers naturels du reste du tableau :
La figure 6 diffère de la 5 montrant en rangées les multiples et en diagonale continue leurs diviseurs.
La première rangée correspond à la suite des entiers naturels et l’ensemble des suivantes en est la décomposition.
La seconde rangée correspond aux multiples de 2.
La troisième rangée correspond aux multiples de 3.
Etc.
La décomposition permet de visualiser des formes de comètes (colorées) partant de chaque carré du nombre correspondant de la diagonale principale.
Une seconde série de comètes a pour « tête » un produit de deux entiers consécutifs s’insérant entre les carrés consécutifs tels 20 ; 18 ; 14 ; 8.
Les comètes à tête de carré sont suffisantes à la compréhension du mécanisme bien qu’il existe une infinité de catégories de comètes qui s’interpénètrent. Voir l’extrait de la « carte des multiples-diviseurs » (Figure 10).
Les multiples-diviseurs des comètes forment une suite de la forme :
n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1)
4 ; 2.
9 ; 8 ; 5.
16 ; 15 ; 12 ; 7.
25 ; 24 ; 21 ; 16 ; 9.
Etc.
Lorsqu’une colonne est vide de multiple-diviseur, elle correspond à un nombre premier. En calquant la chronologie de composition des mélanges de couleurs sur le tableau à nombres on observe alors la genèse des nombres premiers qui n’est en fait qu’induite par l’organisation des entiers naturels, sorte de « négatif ». Vu ainsi, les nombres premiers sembleraient n’être qu’une conséquence de l’organisation des entiers naturels.
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Un crible : Le Triangle Premier
Ou crible par comparaison. (Note 5 et 6)
À partir de la suite : n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1), on peut construire un crible dévoilant les nombres premiers en comparant les entiers impairs composant la diagonale externe avec les entiers naturels du reste du tableau :
Figure 7
Dans la colonne de gauche, on inscrit la suite des carrés.
Dans la diagonale extérieure de droite descendante est inscrite la suite des nombres impairs.
La première rangée ne comporte que le "1".
La seconde rangée se forme de la façon suivante : le 3 de la deuxième rangée, additionné au 1 de la première rangée donne le 4 de la seconde rangée.
La troisième rangée se forme de la même façon : On additionne 5 à chacun des nombres de la rangée précédente : 5 + 4 = 9, 5 + 3 = 8.
Pour la quatrième on aura : 7 + 9 = 16, 7 + 8 = 15, et 7 + 5 = 12.
De gauche à droite sont les suites décroissantes des comètes :
n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1)
Ce triangle révèle les nombres premiers de la façon suivante : tout nombre de la diagonale des entiers naturels impairs qui ne se retrouve pas dans le reste du triangle est premier.
Chaque nombre entier carré suivant est aussi le résultat de l’addition : n2 + 2n + 1
Les diagonales (descendantes de gauche à droite) sont des suites définies par des intervalles égaux au double du nombre issu du carré. (36 est issu de 6, qui doublé donne l’intervalle 12).
Les diagonales descendantes de droite à gauche sont des suites ayant pour raison le nombre dont elles sont issues. (20 ; 40 ; 60 ; 80…)
Comme toutes les diagonales sont des suites logiques, aussi bien descendantes de gauche à droite que de droite à gauche, il est théoriquement possible d’obtenir toute portion de ce triangle sans fin et donc de trouver n’importe quel nombre premier « par comparaison » sans tester ses diviseurs. Néanmoins l’efficacité pratique de ce crible semble très faible.
Exemple 1 : Pour rechercher les nombres premiers compris entre les carrés 16 et 25 on compare tous les nombres de la fourchette 16-25 du triangle avec la fourchette 15-25 de la diagonale. Ici on inclut les pairs et les 5n car le crible n’est pas basé sur la divisibilité mais sur la comparaison. Évidement un algorhytme les exclurait.
Dans la colonne de gauche, on inscrit la suite des carrés.
Dans la diagonale extérieure de droite descendante est inscrite la suite des nombres impairs.
La première rangée ne comporte que le "1".
La seconde rangée se forme de la façon suivante : le 3 de la deuxième rangée, additionné au 1 de la première rangée donne le 4 de la seconde rangée.
La troisième rangée se forme de la même façon : On additionne 5 à chacun des nombres de la rangée précédente : 5 + 4 = 9, 5 + 3 = 8.
Pour la quatrième on aura : 7 + 9 = 16, 7 + 8 = 15, et 7 + 5 = 12.
De gauche à droite sont les suites décroissantes des comètes :
n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1)
Ce triangle révèle les nombres premiers de la façon suivante : tout nombre de la diagonale des entiers naturels impairs qui ne se retrouve pas dans le reste du triangle est premier.
Chaque nombre entier carré suivant est aussi le résultat de l’addition : n2 + 2n + 1
Les diagonales (descendantes de gauche à droite) sont des suites définies par des intervalles égaux au double du nombre issu du carré. (36 est issu de 6, qui doublé donne l’intervalle 12).
Les diagonales descendantes de droite à gauche sont des suites ayant pour raison le nombre dont elles sont issues. (20 ; 40 ; 60 ; 80…)
Comme toutes les diagonales sont des suites logiques, aussi bien descendantes de gauche à droite que de droite à gauche, il est théoriquement possible d’obtenir toute portion de ce triangle sans fin et donc de trouver n’importe quel nombre premier « par comparaison » sans tester ses diviseurs. Néanmoins l’efficacité pratique de ce crible semble très faible.
Exemple 1 : Pour rechercher les nombres premiers compris entre les carrés 16 et 25 on compare tous les nombres de la fourchette 16-25 du triangle avec la fourchette 15-25 de la diagonale. Ici on inclut les pairs et les 5n car le crible n’est pas basé sur la divisibilité mais sur la comparaison. Évidement un algorhytme les exclurait.
Figure 8
Exemple 2 : Entre les carrés 36 et 49 on compare tous les nombres de la fourchette 36-49 du triangle avec la fourchette 37-49 de la diagonale.
Exemple 2 : Entre les carrés 36 et 49 on compare tous les nombres de la fourchette 36-49 du triangle avec la fourchette 37-49 de la diagonale.
Figure 9
Exemple 3 : Entre les carrés 121 et 144, nous comparons tous les nombres dans la plage 121 et 144 à l’intérieur du triangle avec la plage 121-144 de la dernière diagonale à droite. Dans cet exemple, les nombres entiers comme 2n et 5n ne sont pas concernés, ils apparaissent donc en bleu clair. (La plupart des nombres inutiles sont supprimés). Ce tableau non lisible n’est qu’ici que pour visualiser les zones du crible utiles à la comparaison.
Exemple 3 : Entre les carrés 121 et 144, nous comparons tous les nombres dans la plage 121 et 144 à l’intérieur du triangle avec la plage 121-144 de la dernière diagonale à droite. Dans cet exemple, les nombres entiers comme 2n et 5n ne sont pas concernés, ils apparaissent donc en bleu clair. (La plupart des nombres inutiles sont supprimés). Ce tableau non lisible n’est qu’ici que pour visualiser les zones du crible utiles à la comparaison.
Figure 10
- : - : -
Une « carte » de l’organisation
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Une « carte » de l’organisation
Figure 11
La figure 11 représente un extrait de la « carte » des multiples-diviseurs vers le niveau des entiers 30.000 allant croissant de gauche à droite. La première rangée est la demi droite des entiers naturels. Chaque point correspond à un diviseur-multiple.
En observant cette portion en grande extension de la figure 2, bien que l’ensemble des multiples-diviseurs soit très organisé il semble devenir de plus en plus chaotique malgré qu’il ne soit composé que de figures régulières enchevêtrées difficilement discernables. Les plus remarquables sont celles à « tête de carré » et à « doubles têtes ». Chaque forme grandit vers l’infini.
Tout point correspond à un multiple-diviseur. Ils font tous partie d’une comète de la forme :
n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1)
Ou de la forme :
n(n+1) ; n(n+1)-(1x2) ; n(n+1)-(2x3) ; n(n+1)-(3x4); … 2n
On constate donc que le semblant de chaos est en fait parfaitement organisé ainsi que la distribution des colonnes « vides » correspondant aux nombres premiers. Cette distribution dépend de celle de l’ensemble des entiers naturels. C’est une sorte de négatif qui n’a aucune indépendance. On peut considérer les nombres premiers comme une conséquence de l’organisation des entiers naturels. Ils sont comme des rayons passant au travers des filtres des multiples de chaque entier divisible.
- : - : -
Synchronisation - Désynchronisation
Visuellement, sur la carte de l’organisation des entiers naturels, par un phénomène de désynchronisation et de resynchronisation partielles, les multiples-diviseurs forment des sortes de pyramides plus ou moins grandes et régulières, les sommets correspondant à des multiples de 6.
Les sommets des pyramides les plus remarquables sont des multiples de 60.
La taille de ces pyramides dépend de l’importance des resynchronisations partielles entre les diviseurs-multiples. Une synchronisation est un retour à l’état initial de la décomposition de la demi droite des entiers naturels. Plus un multiple de 60 a de multiples-diviseurs plus la pyramide est schématiquement remarquable telle celle de la figure 11 correspondant au nombre 465585120 ayant 1152 diviseurs et particulièrement tous ceux de 2 à 22. Ce nombre est la longueur de ce que l’on peut considérer comme un module à hauteur 22 qui va se répéter tous les 465585120n.
La figure 11 représente un extrait de la « carte » des multiples-diviseurs vers le niveau des entiers 30.000 allant croissant de gauche à droite. La première rangée est la demi droite des entiers naturels. Chaque point correspond à un diviseur-multiple.
En observant cette portion en grande extension de la figure 2, bien que l’ensemble des multiples-diviseurs soit très organisé il semble devenir de plus en plus chaotique malgré qu’il ne soit composé que de figures régulières enchevêtrées difficilement discernables. Les plus remarquables sont celles à « tête de carré » et à « doubles têtes ». Chaque forme grandit vers l’infini.
Tout point correspond à un multiple-diviseur. Ils font tous partie d’une comète de la forme :
n²; (n² - 1); (n² - 2²); (n² - 3²) … (n² - m²); (2n - 1)
Ou de la forme :
n(n+1) ; n(n+1)-(1x2) ; n(n+1)-(2x3) ; n(n+1)-(3x4); … 2n
On constate donc que le semblant de chaos est en fait parfaitement organisé ainsi que la distribution des colonnes « vides » correspondant aux nombres premiers. Cette distribution dépend de celle de l’ensemble des entiers naturels. C’est une sorte de négatif qui n’a aucune indépendance. On peut considérer les nombres premiers comme une conséquence de l’organisation des entiers naturels. Ils sont comme des rayons passant au travers des filtres des multiples de chaque entier divisible.
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Synchronisation - Désynchronisation
Visuellement, sur la carte de l’organisation des entiers naturels, par un phénomène de désynchronisation et de resynchronisation partielles, les multiples-diviseurs forment des sortes de pyramides plus ou moins grandes et régulières, les sommets correspondant à des multiples de 6.
Les sommets des pyramides les plus remarquables sont des multiples de 60.
La taille de ces pyramides dépend de l’importance des resynchronisations partielles entre les diviseurs-multiples. Une synchronisation est un retour à l’état initial de la décomposition de la demi droite des entiers naturels. Plus un multiple de 60 a de multiples-diviseurs plus la pyramide est schématiquement remarquable telle celle de la figure 11 correspondant au nombre 465585120 ayant 1152 diviseurs et particulièrement tous ceux de 2 à 22. Ce nombre est la longueur de ce que l’on peut considérer comme un module à hauteur 22 qui va se répéter tous les 465585120n.
Figure 12
Les modules
Après avoir décomposé la demi droite des entiers en rangées on va maintenant les assembler les unes après les autres pour obtenir des modules qui se répèteront à l’infini.
Le module le plus simple est de longueur 2 et de hauteur 2 :
Les modules
Après avoir décomposé la demi droite des entiers en rangées on va maintenant les assembler les unes après les autres pour obtenir des modules qui se répèteront à l’infini.
Le module le plus simple est de longueur 2 et de hauteur 2 :
Le module 3 de longueur 6 de hauteur 3
Le module de longueur 60 et d’épaisseur 6 peut être considéré comme base si l'on se réfère à la carte de l'organisation des nombres entiers montrant l'espacement régulier entre les sommets caractéristiques des pyramides :
Qui en symétrie réduite :
La longueur de ces modules augmente rapidement. Pour une hauteur de 13, la longueur est de 360360, qui donne en symétrie concentrée :
Les cinq dernières rangées grisées ne font pas partie du module. Elles sont là pour montrer la désynchronisation qu’elles occasionnent par rapport aux treize premières rangées entièrement symétriques.
La case du coin gauche est celle du zéro.
La case du coin droit est celle de 360360
La symétrie est en 180180.
Ici 180179 et 180181 sont premiers mais ne pas extrapoler et imaginer que tous les 180180n plus ou moins 1 sont premiers ; Quelle probabilité ?
Chaque entier naturel étant décliné à l’infini en multiples, un théorique module infini existe… avec sa symétrie. (Note 7)
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Les modules et leur Intérêt
Les modules ont un intérêt chronologique et permettent de mieux comprendre le mécanisme des nombres premiers.
On a vu que le crible par comparaison n’utilisait pas la division ni la multiplication mais uniquement l’addition itérative ce qui veut dire que tout entier naturel peut être alors considéré comme un nombre premier potentiel et qu’à priori on ne sait pas quel entier naturel est divisible en deux entiers égaux. Aussi, par juxtaposition des rangées itératives, comme avec la méthode des pinceaux magiques on va éliminer au fur et à mesure les nombres premiers potentiels. La réunion d’un empilement de rangées (hauteur) forme un module à longueur déterminée par sa symétrie. Chaque module est unique.
Rappelons que nous raisonnons en cases, colonnes et rangées et que nous considérons seul l’ensemble des nombres entiers, ici discontinu. Entre deux entiers consécutifs (case), il n’y a rien. Entre deux entiers non consécutifs il y a une ou des cases vides consécutives, des sortes d’unités-vides. (Ici, par définition une unité n’est pas sécable).
On reprend de façon chronologique la méthode des pinceaux magiques.
Avec les couleurs, un module laisse des cases colorées et d’autre sans couleur, vierges. Ces premiers potentiels ne seront recouverts ou pas, que par les rangées des nombres premiers suivants. Maintenant on considère la « portée », d’une itération première qui va colorer sa colonne première et donc sa case correspondante de la rangée des résultats, soit la première rangée. Puis cette itération de « n » va survoler des colonnes déjà marquées pour atteindre sa deuxième colonne vierge en n2 + 2xn. Selon la taille unique de son module l’itération continuera ses éliminations, laissant derrière elle, la partie d’un module de hauteur n comprise entre n et n2 + 2xn où se trouvent les nombres entiers définitivement considérés comme premiers. (Zone de Premiers Confirmés), zone où l’itération première ne fait que recouvrir des colonnes déjà bouchées comme les colonnes paires ou par celles des itérations de nombres premiers inférieurs. Une itération paire ne fait que recouvrir des colonnes déjà occupées, alors qu’une itération première élimine des premiers potentiels.
À chaque répétition d’un module premier sont éliminés un nombre précis de premiers potentiels aux mêmes positions symétriques par rapport au milieu du module. Pour le module de 5 on aura les espaces :
5 - 20 - 10 - 20 - 5
(Voir le module de longueur 60 et 6 de hauteur)
Pour le module de 7 on aura les espaces :
7 - 42 - 28 - 14 - 28 - 14 - 28 - 42 - 14 - 42 - 28 - 14 - 28 -14 - 28 - 42 - 7
Un module correspondant à un nombre premier laisse une quantité de nombres premiers validés pour la raison qu’ils ne seront plus jamais couverts en raison de la « portée » d’itération croissante de tous les nombres premiers suivants.
La taille des modules augmente rapidement et donc la partie ZPC aussi. Plus le module est grand, plus vous avez la possibilité de conserver les nombres premiers.
En même temps, l’écart entre les carrés consécutifs augmente lentement mais régulièrement contrairement à la partie 2xn. La partie ZPC et l’intervalle entre les deux carrés consécutifs m et m + 1 contenant un des nombres premiers n sont liées. L’augmentation de la taille de leurs écarts étant en faveur de la ZPC, non éliminatrice de potentiels premiers, fait que les nombres premiers entre deux carrés consécutifs augmentent sans cesse, ce que l’on constate par l’observation de la baisse d’efficacité des modules à éliminer des premiers potentiels. Ceci pourra être vérifié en analysant la baisse d’élimination des nombres entiers potentiellement premiers de chaque nouveau module premier, c’est-à-dire les séquences uniques à chaque module par exemple (5 - 20 - 10 - 20 – 5)
La suite des modules, en dimensions hauteur et longueur, ne répond pas à une logique simple, bien au contraire car elle est directement liée à la désynchronisation – resynchronisation partielle. Elle ne peut donc pas être utile à une compréhension aisée du phénomène des nombres premiers.
La case du coin gauche est celle du zéro.
La case du coin droit est celle de 360360
La symétrie est en 180180.
Ici 180179 et 180181 sont premiers mais ne pas extrapoler et imaginer que tous les 180180n plus ou moins 1 sont premiers ; Quelle probabilité ?
Chaque entier naturel étant décliné à l’infini en multiples, un théorique module infini existe… avec sa symétrie. (Note 7)
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Les modules et leur Intérêt
Les modules ont un intérêt chronologique et permettent de mieux comprendre le mécanisme des nombres premiers.
On a vu que le crible par comparaison n’utilisait pas la division ni la multiplication mais uniquement l’addition itérative ce qui veut dire que tout entier naturel peut être alors considéré comme un nombre premier potentiel et qu’à priori on ne sait pas quel entier naturel est divisible en deux entiers égaux. Aussi, par juxtaposition des rangées itératives, comme avec la méthode des pinceaux magiques on va éliminer au fur et à mesure les nombres premiers potentiels. La réunion d’un empilement de rangées (hauteur) forme un module à longueur déterminée par sa symétrie. Chaque module est unique.
Rappelons que nous raisonnons en cases, colonnes et rangées et que nous considérons seul l’ensemble des nombres entiers, ici discontinu. Entre deux entiers consécutifs (case), il n’y a rien. Entre deux entiers non consécutifs il y a une ou des cases vides consécutives, des sortes d’unités-vides. (Ici, par définition une unité n’est pas sécable).
On reprend de façon chronologique la méthode des pinceaux magiques.
Avec les couleurs, un module laisse des cases colorées et d’autre sans couleur, vierges. Ces premiers potentiels ne seront recouverts ou pas, que par les rangées des nombres premiers suivants. Maintenant on considère la « portée », d’une itération première qui va colorer sa colonne première et donc sa case correspondante de la rangée des résultats, soit la première rangée. Puis cette itération de « n » va survoler des colonnes déjà marquées pour atteindre sa deuxième colonne vierge en n2 + 2xn. Selon la taille unique de son module l’itération continuera ses éliminations, laissant derrière elle, la partie d’un module de hauteur n comprise entre n et n2 + 2xn où se trouvent les nombres entiers définitivement considérés comme premiers. (Zone de Premiers Confirmés), zone où l’itération première ne fait que recouvrir des colonnes déjà bouchées comme les colonnes paires ou par celles des itérations de nombres premiers inférieurs. Une itération paire ne fait que recouvrir des colonnes déjà occupées, alors qu’une itération première élimine des premiers potentiels.
À chaque répétition d’un module premier sont éliminés un nombre précis de premiers potentiels aux mêmes positions symétriques par rapport au milieu du module. Pour le module de 5 on aura les espaces :
5 - 20 - 10 - 20 - 5
(Voir le module de longueur 60 et 6 de hauteur)
Pour le module de 7 on aura les espaces :
7 - 42 - 28 - 14 - 28 - 14 - 28 - 42 - 14 - 42 - 28 - 14 - 28 -14 - 28 - 42 - 7
Un module correspondant à un nombre premier laisse une quantité de nombres premiers validés pour la raison qu’ils ne seront plus jamais couverts en raison de la « portée » d’itération croissante de tous les nombres premiers suivants.
La taille des modules augmente rapidement et donc la partie ZPC aussi. Plus le module est grand, plus vous avez la possibilité de conserver les nombres premiers.
En même temps, l’écart entre les carrés consécutifs augmente lentement mais régulièrement contrairement à la partie 2xn. La partie ZPC et l’intervalle entre les deux carrés consécutifs m et m + 1 contenant un des nombres premiers n sont liées. L’augmentation de la taille de leurs écarts étant en faveur de la ZPC, non éliminatrice de potentiels premiers, fait que les nombres premiers entre deux carrés consécutifs augmentent sans cesse, ce que l’on constate par l’observation de la baisse d’efficacité des modules à éliminer des premiers potentiels. Ceci pourra être vérifié en analysant la baisse d’élimination des nombres entiers potentiellement premiers de chaque nouveau module premier, c’est-à-dire les séquences uniques à chaque module par exemple (5 - 20 - 10 - 20 – 5)
La suite des modules, en dimensions hauteur et longueur, ne répond pas à une logique simple, bien au contraire car elle est directement liée à la désynchronisation – resynchronisation partielle. Elle ne peut donc pas être utile à une compréhension aisée du phénomène des nombres premiers.
L'illustration suivante, hélas peu lisible de par sa grande largeur peut quand même se comprendre:
La rangée centrale dense et colorée correspond au résultat de l'élimination des potentiels nombres premiers par les rangées 2,3,5,7,11,13. Les rangées en dessous sont les zones ZPC n2 et ZPC 2xn accolées.
Aux mêmes rangées au dessus on a ajouté les nombres premiers non éliminés par le nombre premier correspondant.
Juste au-dessus de la rangée colorée sont les carrés.
Attention, le fait que les nombres premiers augmentent en quantité dans les intervalles entre les carrés consécutifs allant aussi croissant ne s'observe qu'à partir des carrés de la cinquantaine sur une moyenne glissante.
La rangée centrale dense et colorée correspond au résultat de l'élimination des potentiels nombres premiers par les rangées 2,3,5,7,11,13. Les rangées en dessous sont les zones ZPC n2 et ZPC 2xn accolées.
Aux mêmes rangées au dessus on a ajouté les nombres premiers non éliminés par le nombre premier correspondant.
Juste au-dessus de la rangée colorée sont les carrés.
Attention, le fait que les nombres premiers augmentent en quantité dans les intervalles entre les carrés consécutifs allant aussi croissant ne s'observe qu'à partir des carrés de la cinquantaine sur une moyenne glissante.
On retiendra :
Qu’un module est un résumé des couches précédentes que l’on peut projeter à n’importe niveau en le calant aux synchronisations partielles.
Ces reports n’ont aucun effet prédictif car chaque rangée suivante formera un nouveau module dont on ne peut pas connaitre la longueur sans trouver d’abord le prochain nombre premier grâce au crible par comparaison.
Que la façon d’éliminer les nombres premiers potentiels dépend entièrement de la désynchronisation des rangées d’où l’inconnue dans n2 + 2xn.
Que seuls les modules dont la dernière rangée est un nombre premier éliminent les premiers potentiels. La répartition des éliminés est unique pour chaque module, elle est symétrique par rapport au centre horizontal du module et les écarts entre les nombres entiers éliminés sont des multiples pairs du nombre premier de la rangée.
- : - : -
Un choix de repère
Le mécanisme des nombres premiers semble chaotique.
La décomposition de la succession des entiers naturels juxtaposés en une infinité d’alignements de ses composants met en valeur une organisation des carrés n²
La suite qu’ils induisent est une « constante » évoluant selon une règle simple et régulière.
L’observation de l’extrait de la carte des diviseurs (figure 10) montre les formes simples des variétés de comètes et particulièrement celles dont la « tête » correspond à un carré.
Le choix des comètes à têtes de carrés peut donc servir de repères et permettre une tentative de compréhension de la répartition des nombres premiers au fur et à mesure que l’on avance dans les niveaux des tailles des nombres.
La référence à l’écart entre deux carrés consécutifs se justifie par le fait que cet écart évolue de façon régulière. La densité des nombres premiers évolue elle aussi, de façon irrégulière mais tout en respectant une fourchette irrégulière contenue. Dans les premiers intervalles entre les carrés successifs, la quantité de nombres premiers varie, diminuant parfois d’un écart au suivant. Mais la tendance s’affirme avec les grands nombres car le principe est itératif. Ne pas oublier que si la densité des nombres premiers entre deux carrés successifs diminue, leur nombre augmente en moyenne. Cette évolution de densité est continue et il n’y a pas de rupture entre les carrés. À tous les niveaux une fourchette est respectée. Même l’ordre d’apparition des types d’écart, qui est irrégulier, est « encadré ». (Un type d’écart correspond à l’écart entre deux nombres premiers successifs : 2, 4, 6, … 2n.)
On est en présence d’un phénomène induit irrégulier, qui de fait est auto-régulé par l’itération régulière dont il est issu. (Désynchronisation et resynchronisation partielle de type ondulaire).
On décide donc de choisir pour référence l’écart entre deux carrés consécutifs tout en gardant à l’esprit que le phénomène est glissant.
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Qu’un module est un résumé des couches précédentes que l’on peut projeter à n’importe niveau en le calant aux synchronisations partielles.
Ces reports n’ont aucun effet prédictif car chaque rangée suivante formera un nouveau module dont on ne peut pas connaitre la longueur sans trouver d’abord le prochain nombre premier grâce au crible par comparaison.
Que la façon d’éliminer les nombres premiers potentiels dépend entièrement de la désynchronisation des rangées d’où l’inconnue dans n2 + 2xn.
Que seuls les modules dont la dernière rangée est un nombre premier éliminent les premiers potentiels. La répartition des éliminés est unique pour chaque module, elle est symétrique par rapport au centre horizontal du module et les écarts entre les nombres entiers éliminés sont des multiples pairs du nombre premier de la rangée.
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Un choix de repère
Le mécanisme des nombres premiers semble chaotique.
La décomposition de la succession des entiers naturels juxtaposés en une infinité d’alignements de ses composants met en valeur une organisation des carrés n²
La suite qu’ils induisent est une « constante » évoluant selon une règle simple et régulière.
L’observation de l’extrait de la carte des diviseurs (figure 10) montre les formes simples des variétés de comètes et particulièrement celles dont la « tête » correspond à un carré.
Le choix des comètes à têtes de carrés peut donc servir de repères et permettre une tentative de compréhension de la répartition des nombres premiers au fur et à mesure que l’on avance dans les niveaux des tailles des nombres.
La référence à l’écart entre deux carrés consécutifs se justifie par le fait que cet écart évolue de façon régulière. La densité des nombres premiers évolue elle aussi, de façon irrégulière mais tout en respectant une fourchette irrégulière contenue. Dans les premiers intervalles entre les carrés successifs, la quantité de nombres premiers varie, diminuant parfois d’un écart au suivant. Mais la tendance s’affirme avec les grands nombres car le principe est itératif. Ne pas oublier que si la densité des nombres premiers entre deux carrés successifs diminue, leur nombre augmente en moyenne. Cette évolution de densité est continue et il n’y a pas de rupture entre les carrés. À tous les niveaux une fourchette est respectée. Même l’ordre d’apparition des types d’écart, qui est irrégulier, est « encadré ». (Un type d’écart correspond à l’écart entre deux nombres premiers successifs : 2, 4, 6, … 2n.)
On est en présence d’un phénomène induit irrégulier, qui de fait est auto-régulé par l’itération régulière dont il est issu. (Désynchronisation et resynchronisation partielle de type ondulaire).
On décide donc de choisir pour référence l’écart entre deux carrés consécutifs tout en gardant à l’esprit que le phénomène est glissant.
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Densité des Nombres Premiers
Avec le crible par comparaison on observe que la densité des nombres premiers va en diminuant vers les grands nombres, et que leur quantité comprise entre deux carrés successifs va croissante, en moyenne.
Quant à la fréquence des écarts types entre les nombres premiers, à partir d'un niveau relativement élevé, elle reste toujours inscrite dans une fourchette elle aussi croissante. La densité diminuant, les types d’écarts possibles augmentent et tout type d’écart perdure. De nouveaux types d’écarts apparaissent. Leur ordre d’apparition n’est pas régulier mais reste toujours borné dans une fourchette correspondant à leur niveau. Aucun type d’écart entre les nombres premiers ne disparait et ce de par construction itérative même de la « carte » des multiples-diviseurs.
Pour observer la répartition des nombres premiers le plus simple est de le faire dans la régularité des écarts entre les carrés consécutifs.
L’écart le plus fréquent est de 6, bien que diminuant en densité au fur et à mesure que l’écart entre les carrés consécutifs augmente. Viennent ensuite en quantité décroissante les multiples de 6 entre lesquels en moindre nombre les intermédiaires 4, 8 ,10, 14, 16, 20, etc. L’écart de 2 reste un des plus fréquent, mais jusqu’à quel niveau ? Le test n’a porté que sur des petits échantillons jusqu’à1015. Le graphique suivant est un exemple d’échantillon pris vers la zone de1012 ; (4293 sur 69.432 nombres premiers compris entre les carrés consécutifs 974.679 et 974.680).
Avec le crible par comparaison on observe que la densité des nombres premiers va en diminuant vers les grands nombres, et que leur quantité comprise entre deux carrés successifs va croissante, en moyenne.
Quant à la fréquence des écarts types entre les nombres premiers, à partir d'un niveau relativement élevé, elle reste toujours inscrite dans une fourchette elle aussi croissante. La densité diminuant, les types d’écarts possibles augmentent et tout type d’écart perdure. De nouveaux types d’écarts apparaissent. Leur ordre d’apparition n’est pas régulier mais reste toujours borné dans une fourchette correspondant à leur niveau. Aucun type d’écart entre les nombres premiers ne disparait et ce de par construction itérative même de la « carte » des multiples-diviseurs.
Pour observer la répartition des nombres premiers le plus simple est de le faire dans la régularité des écarts entre les carrés consécutifs.
L’écart le plus fréquent est de 6, bien que diminuant en densité au fur et à mesure que l’écart entre les carrés consécutifs augmente. Viennent ensuite en quantité décroissante les multiples de 6 entre lesquels en moindre nombre les intermédiaires 4, 8 ,10, 14, 16, 20, etc. L’écart de 2 reste un des plus fréquent, mais jusqu’à quel niveau ? Le test n’a porté que sur des petits échantillons jusqu’à1015. Le graphique suivant est un exemple d’échantillon pris vers la zone de1012 ; (4293 sur 69.432 nombres premiers compris entre les carrés consécutifs 974.679 et 974.680).
Figure 13
En abscisse sont les types d‘écarts entre deux nombres premiers successifs. Ils vont de 2 en 2 tel 2, 4, 6, 8, … 284, …à l’infini pair.
En ordonnée est la quantité pour un échantillon.
Le premier écart de fréquence d’apparition est 2 (les jumeaux).
L’écart de 4 suit puis vient le pic de 6.
Suivent les écarts de 8 et 10, moindres et le second pic de 12.
Les types d’écart n’apparaissent pas toujours dans l’ordre croissant.
Tous les pics sont des multiples de 6 qui vont décroissants.
Les nombres premiers se trouvent potentiellement contigus aux multiples de 6.
Entre deux pics de 6n les valeurs d’écarts sont moins fréquentes.
La quantité de types d’écarts possibles entre deux carrés consécutifs s’accroit ainsi que leur fréquence d’apparition.
Aucun type d’écart ne disparait bien que leur densité s’amenuise.
L’évolution lente de cette courbe se confirme jusqu’à 1015. Affiner sur la continuité et vérifier au-delà pour s’en convaincre reste à faire. (Note 8)
Le choix d’observer en se repérant aux carrés n’est que pratique, le phénomène de l’évolution des écarts en quantité et en type étant glissants.
En abscisse sont les types d‘écarts entre deux nombres premiers successifs. Ils vont de 2 en 2 tel 2, 4, 6, 8, … 284, …à l’infini pair.
En ordonnée est la quantité pour un échantillon.
Le premier écart de fréquence d’apparition est 2 (les jumeaux).
L’écart de 4 suit puis vient le pic de 6.
Suivent les écarts de 8 et 10, moindres et le second pic de 12.
Les types d’écart n’apparaissent pas toujours dans l’ordre croissant.
Tous les pics sont des multiples de 6 qui vont décroissants.
Les nombres premiers se trouvent potentiellement contigus aux multiples de 6.
Entre deux pics de 6n les valeurs d’écarts sont moins fréquentes.
La quantité de types d’écarts possibles entre deux carrés consécutifs s’accroit ainsi que leur fréquence d’apparition.
Aucun type d’écart ne disparait bien que leur densité s’amenuise.
L’évolution lente de cette courbe se confirme jusqu’à 1015. Affiner sur la continuité et vérifier au-delà pour s’en convaincre reste à faire. (Note 8)
Le choix d’observer en se repérant aux carrés n’est que pratique, le phénomène de l’évolution des écarts en quantité et en type étant glissants.
À suivre:
Les nombres entiers associés à des sinusoïdes
- : - : -
Notes
Note 1
Concrètement il ne s’agit pas de couches mais de mélanges à proportion. Ici les couches font théoriquement transparaître les différentes couleurs comme des filtres. Les pinceaux sont magiques…
- : - : -
Note 2
Ci-dessous la règle utilisée pour les mélanges de couleur sur la diagonale continue afin d’obtenir de nouvelles couleurs lorsqu’aucune n’existe dans la colonne correspondante.
Les nombres entiers associés à des sinusoïdes
- : - : -
Notes
Note 1
Concrètement il ne s’agit pas de couches mais de mélanges à proportion. Ici les couches font théoriquement transparaître les différentes couleurs comme des filtres. Les pinceaux sont magiques…
- : - : -
Note 2
Ci-dessous la règle utilisée pour les mélanges de couleur sur la diagonale continue afin d’obtenir de nouvelles couleurs lorsqu’aucune n’existe dans la colonne correspondante.
Note 3
Notons que le jaune pur n’apparait pas sur la rangée finale. Pour ce faire il faudrait faire le choix d’attribuer les trois premières couleurs au trois premières colonnes vides, le jaune remplaçant le mélange cyan magenta. Mais alors on n’aurait pas de vert « pur ». Selon le choix de teinte et d’ordre des trois premières couleurs, l’ensemble des couleurs possible obtenu est unique. Ici on a fait le choix d’utiliser la base classique CMJ mais n’importe quel autre choix permet de différencier les galets. On peut dire qu’il a une infinité d’infinis…
- : - : -
Note 4
Chaque galet a « sa » première couche qui induit sa copie à l’infini. La juxtaposition par copie est le maitre-mot de l’organisation de ce système de différentiation et par conséquence de la nécessité à créer de nouvelles couleurs par mélanges.
- : - : -
Note 5
Une simple macro Excel peut trouver dans l’ordre tous les nombres premiers dans une gamme désirée de petits nombres. Pour une faisabilité impliquant de grands nombres ce crible semble inefficace. Cela reste théorique mais il serait très intéressant de connaître ses limites.
Toute aide est bienvenue pour : Développer un algorithme efficace pour le crible par comparaison.
Pour une recherche de la fréquence de l’écart des nombres premiers entre les carrés consécutifs.
georges.peyrichou@wanadoo.fr
- : - : -
Note 6
1 - Le tableau représentant la décomposition de la demi droite des entiers naturels est conçu à partir d’un tableur. Si l’on étend la figure 10 sur 15.000 en rangées et 100 en colonnes, on peut le faire défiler plus ou moins vite et à diverses échelles. À une échelle de fort grossissement les nombres deviennent des petits points comme sur la figure 10. Si l’ordinateur permet un défilement suffisamment rapide on voit l’image comme en dessin animé où les petits points dansent en ondulations se décomposant et se redécomposant tel un mélange d’ondes.
2 - Â l’arrêt d’un feu rouge, quand les clignotants des voitures qui précèdent ont des rythmes différents, tantôt ils sont synchrones, tantôt ils sont en opposition. Les nombres premiers se glissent parmi ces variations.
À partir de ce constat on imagine d’associer à chaque entier naturel une onde de période égale à son amplitude. Quand l’ordonnée d’une onde s’annule en abscisse et qu’elle y est seule, l’onde correspond à un nombre premier.
L’extrait de la figure 12 montre les points où une seule onde s’annule en ordonnée (matérialisé par un petit cercle).
- : - : -
Note 7
Quel est l’intérêt d’observer ces modules quelque peu arbitraires ?
La décomposition chronologique et dynamique permet l’observation de la complexification de l’itération de l’organisation des entiers naturels et par là celle des nombres premiers qui en découlent.
Les modules ne sont qu’une décomposition d’un phénomène découlant d’un type d’organisation d’éléments composant un ensemble infini d’infinis.
La progression des rapports entre la longueur et la hauteur des modules est difficile à appréhender.
- : - : -
Notons que le jaune pur n’apparait pas sur la rangée finale. Pour ce faire il faudrait faire le choix d’attribuer les trois premières couleurs au trois premières colonnes vides, le jaune remplaçant le mélange cyan magenta. Mais alors on n’aurait pas de vert « pur ». Selon le choix de teinte et d’ordre des trois premières couleurs, l’ensemble des couleurs possible obtenu est unique. Ici on a fait le choix d’utiliser la base classique CMJ mais n’importe quel autre choix permet de différencier les galets. On peut dire qu’il a une infinité d’infinis…
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Note 4
Chaque galet a « sa » première couche qui induit sa copie à l’infini. La juxtaposition par copie est le maitre-mot de l’organisation de ce système de différentiation et par conséquence de la nécessité à créer de nouvelles couleurs par mélanges.
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Note 5
Une simple macro Excel peut trouver dans l’ordre tous les nombres premiers dans une gamme désirée de petits nombres. Pour une faisabilité impliquant de grands nombres ce crible semble inefficace. Cela reste théorique mais il serait très intéressant de connaître ses limites.
Toute aide est bienvenue pour : Développer un algorithme efficace pour le crible par comparaison.
Pour une recherche de la fréquence de l’écart des nombres premiers entre les carrés consécutifs.
georges.peyrichou@wanadoo.fr
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Note 6
1 - Le tableau représentant la décomposition de la demi droite des entiers naturels est conçu à partir d’un tableur. Si l’on étend la figure 10 sur 15.000 en rangées et 100 en colonnes, on peut le faire défiler plus ou moins vite et à diverses échelles. À une échelle de fort grossissement les nombres deviennent des petits points comme sur la figure 10. Si l’ordinateur permet un défilement suffisamment rapide on voit l’image comme en dessin animé où les petits points dansent en ondulations se décomposant et se redécomposant tel un mélange d’ondes.
2 - Â l’arrêt d’un feu rouge, quand les clignotants des voitures qui précèdent ont des rythmes différents, tantôt ils sont synchrones, tantôt ils sont en opposition. Les nombres premiers se glissent parmi ces variations.
À partir de ce constat on imagine d’associer à chaque entier naturel une onde de période égale à son amplitude. Quand l’ordonnée d’une onde s’annule en abscisse et qu’elle y est seule, l’onde correspond à un nombre premier.
L’extrait de la figure 12 montre les points où une seule onde s’annule en ordonnée (matérialisé par un petit cercle).
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Note 7
Quel est l’intérêt d’observer ces modules quelque peu arbitraires ?
La décomposition chronologique et dynamique permet l’observation de la complexification de l’itération de l’organisation des entiers naturels et par là celle des nombres premiers qui en découlent.
Les modules ne sont qu’une décomposition d’un phénomène découlant d’un type d’organisation d’éléments composant un ensemble infini d’infinis.
La progression des rapports entre la longueur et la hauteur des modules est difficile à appréhender.
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Résumé
- L’organisation des nombres premiers découle de celle des entiers naturels, nombres premiers inclus. Nous avons deux ensembles imbriqués répondant à des règles différentes (ensemble au sens mathématique).
- L’organisation des nombres premiers repose sur un principe indépendant des nombres, par exemple celui d’un mélange de couleurs.
- Appliqué aux entiers (naturels), ce système de différentiation nous donne une « carte » des nombres entiers.
- De cette carte on déduit le crible par comparaison non basé sur les opérations de division de multiplication. Seule l'addition itérative est utilisée.
- Les carrés des entiers sont utilisables comme repères dans l’ensemble des entiers naturels.
- Si la densité des nombres premiers entre deux carrés successifs diminue, leur nombre augmente.
- L’observation de modules lié à une chronologie dynamique montre l’infinité de tous les types d’écarts (gaps) entre les nombres premiers. Les premiers jumeaux ne sont pas une exception. Une vue chronologique implique de considérer tous les nombres entiers comme des potentiellement premiers qui seront au fur et à mesure éliminés. Le processus d'élimina ton détermine l'infinité de tout types d'écart compris entre deux nombres premiers consécutifs.
- À partir du crible par comparaison on peut théoriquement trouver dans l’ordre tous les nombres premiers compris dans une fourchette désirée sans avoir recourt à la divisibilité, ceci dans la limite des capacité de calcul.
- La répartition des nombres premiers peut être vue comme un système de superposition d’une infinité d’e sinusoïdes"entières" associées aux nombres entiers. Lorsqu'une sinusoïde associée est la seule à s'annuler en un point de son abscisse, l'entier est alors premier. Ceci n'a aucun effet prédictif.
- Les écarts possibles entre deux nombres premiers sont pairs et tout nombre pair est un type d’écart. Il y en a une infinité. La fréquence des écarts compris entre deux carrés consécutifs suit une courbe répondant à des caractéristiques "encadrées" par une auto-fourchette (auto-range) quel que soit le niveau et la plage observés. L'écart de 2 se rencontre à l'infini comme tout autre écart 2n. L'écart le plus fréquent est de six. L'augmentation de la taille des écarts se fait progressivement de façon discontinue mais encore une fois dans une fourchette auto régulée.
- Le principe d'itération et ses conséquences de, désynchronisation, resynchronisation partielle et auto limitation règlent l'organisation des nombres entiers et par conséquence des nombres premiers. Désynchronisation et resynchronisation partielle entraine l'auto-fourchette (auto-range) que l'on retrouve dans tous les implications du phénomène organisationnel des nombres entiers qui transparait dans le pseudo chaos des nombres premiers.
- Les nombres premiers ne sont prédictibles que par le "Crible par Comparaison", indépendant des 4 opérations classiques. (L'addition n'étant alors qu'une juxtaposition concrète d'objets au même titre qu'un système de numération).
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(À suivre)
- L’organisation des nombres premiers découle de celle des entiers naturels, nombres premiers inclus. Nous avons deux ensembles imbriqués répondant à des règles différentes (ensemble au sens mathématique).
- L’organisation des nombres premiers repose sur un principe indépendant des nombres, par exemple celui d’un mélange de couleurs.
- Appliqué aux entiers (naturels), ce système de différentiation nous donne une « carte » des nombres entiers.
- De cette carte on déduit le crible par comparaison non basé sur les opérations de division de multiplication. Seule l'addition itérative est utilisée.
- Les carrés des entiers sont utilisables comme repères dans l’ensemble des entiers naturels.
- Si la densité des nombres premiers entre deux carrés successifs diminue, leur nombre augmente.
- L’observation de modules lié à une chronologie dynamique montre l’infinité de tous les types d’écarts (gaps) entre les nombres premiers. Les premiers jumeaux ne sont pas une exception. Une vue chronologique implique de considérer tous les nombres entiers comme des potentiellement premiers qui seront au fur et à mesure éliminés. Le processus d'élimina ton détermine l'infinité de tout types d'écart compris entre deux nombres premiers consécutifs.
- À partir du crible par comparaison on peut théoriquement trouver dans l’ordre tous les nombres premiers compris dans une fourchette désirée sans avoir recourt à la divisibilité, ceci dans la limite des capacité de calcul.
- La répartition des nombres premiers peut être vue comme un système de superposition d’une infinité d’e sinusoïdes"entières" associées aux nombres entiers. Lorsqu'une sinusoïde associée est la seule à s'annuler en un point de son abscisse, l'entier est alors premier. Ceci n'a aucun effet prédictif.
- Les écarts possibles entre deux nombres premiers sont pairs et tout nombre pair est un type d’écart. Il y en a une infinité. La fréquence des écarts compris entre deux carrés consécutifs suit une courbe répondant à des caractéristiques "encadrées" par une auto-fourchette (auto-range) quel que soit le niveau et la plage observés. L'écart de 2 se rencontre à l'infini comme tout autre écart 2n. L'écart le plus fréquent est de six. L'augmentation de la taille des écarts se fait progressivement de façon discontinue mais encore une fois dans une fourchette auto régulée.
- Le principe d'itération et ses conséquences de, désynchronisation, resynchronisation partielle et auto limitation règlent l'organisation des nombres entiers et par conséquence des nombres premiers. Désynchronisation et resynchronisation partielle entraine l'auto-fourchette (auto-range) que l'on retrouve dans tous les implications du phénomène organisationnel des nombres entiers qui transparait dans le pseudo chaos des nombres premiers.
- Les nombres premiers ne sont prédictibles que par le "Crible par Comparaison", indépendant des 4 opérations classiques. (L'addition n'étant alors qu'une juxtaposition concrète d'objets au même titre qu'un système de numération).
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(À suivre)
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